３次方程式、４次方程式の解き方 −代数的解法
Mathematicaを使えば、三次方程式、四次方程式の解を即座に求めることができるが、ここではそういうコンピュータを使った数値的解法による解ではなく、代数的な解き方を紹介する。ちなみに代数的に解けるのは４次方程式までであり、一般的に５次方程式以上は代数的に解くことができないことが証明されている。つまり、５次方程式以上は解の公式が存在しない。
（式が面倒なので平方根は^0.5（0.5乗の意味）、3乗根は^(1/3)で表現してある。なお、筆者は数学の専門家ではないので、数学的厳密さにおいて間違っている表現があるかもしれない）
まず、３次方程式の解き方。（４次方程式を解くには３次方程式を解けることが必要）
y
3 + py
2 + qy + r = 0
で、y = x - p／3を代入すると
x
3 + ax + b = 0 ただし a = 1／3・(3 q - p
2), b = 1／27・(2p
3 − 9pq + 27 r)
ときれいな形になる。
これの根は
A ＝ {−b／2＋(b
2／4＋a
3／27)^0.5}^(1／3)
B ＝ {−b／2−(b
2／4＋a
3／27)^0.5}^(1／3)
として
x
1 = A+ B
x
2, x
3 = −1／2・(A + B) ±(3^0.5) i／2・(A−B)
となる。
こうなる理由について
上の方程式をx = A + Bとして変形すれば、
(A + B)
3 + a (A + B) + b = 0
A
3 + B
3 + (3AB + a)x + b = 0
となる。だから
A
3 + B
3 + b = 0 かつ 3AB + a = 0を満たす
A, Bが上式の解である。
この２式を連立させて解けば、上のA, Bの値となる。
上の根x
1, x
2, x
3だが、b
2／4 + a
3／27によって、実根かどうか判別できる。
・b
2／4 + a
3／27=0のとき、3根とも実数になる。根からbを消去すれば
b＞0のとき
x = −2・(−a／3)^0.5, (−a／3)^0.5, (−a／3)^0.5
b＜0のとき
x = 2・(−a／3)^0.5, −(−a／3)^0.5, −(−a／3)^0.5
・b
2／4 + a
3／27＜0なら、3根とも実数になる。
三角関数を用いた別の表記の仕方もできる。
・b
2／4 + a
3／27＞0なら、実根１つと、共役複素根となる。
４次方程式の解き方
y
4 + py
3 + qy
2 + ry + s = 0
で、y = x -p／4を代入すると
x
4 + ax
2 + bx + c = 0
ただし a = −3／8・p
2 + q, b = p
3／8 − pq／2 + r, c = −3／256・p
4 + p
2q／16−rp／4
（各自で計算して確認のこと）
この４次方程式の根は3次方程式
t
3 + (a/2) t
2 + (a
2−4c)／16・t −b
2／64 = 0
の3根をA, B, Cとすると
x
1 = ±{−A^0.5−B^0.5−C^0.5}
x
2 = ±{−A^0.5 + B^0.5 + C^0.5}
x
3 = ±{A^0.5−B^0.5 + C^0.5}
x
4 = ±{A^0.5 + B^0.5−C^0.5}
となる。（複号はそれぞれb＞0，b＜0に対応する）
こうなる理由について
上の4次方程式を変形して、
(x
2 + L x + M)(x
2 - Lx + N ) = 0
とすれば、2次方程式の解の公式で解けるようになる。
この式中のL, M, Nをa, b, cで表すべく計算を進めると、
結局、上の3次方程式に行き着くようである。
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